Métodos DPG para el problema quad-curl
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2024
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Los problemas relevantes de la magnetohidrodinámica y la dispersión electromagnética utilizan operadores diferenciales de cuarto orden de tipo rotacional, generalmente denominados operadores quad-curl. Su uso requiere métodos de aproximación numérica. En el caso de los operadores quad-curl, la literatura correspondiente es escasa. La discretización de operadores de cuarto orden es difícil debido al requisito de regularidad para las aproximaciones conformes y la presencia de kernels no triviales. Proponemos emplear el método de Petrov-Galerkin discontinuo (método DPG) con funciones de test óptimas. Este es un marco propuesto por Demkowicz y Gopalakrishnan que tiene como objetivo la estabilidad discreta automática de los esquemas de aproximación.El trabajo está dividido en tres partes. La primera parte examina el problema quad-div en dos y tres dimensiones, mostrando su relación con el operador quad-curl $Curl^4$ en el caso 2D. Presentamos el problema como sistemas de primer y segundo orden. Adicionalmente, proporcionamos un método completamente discreto y realizamos un experimento numérico para el caso adaptativo. En la segunda parte, escribimos el operador quad-curl como $-\Curl\Delta\Curl$, formulamos el problema como un sistema de segundo orden y proporcionamos una formulación variacional ultra-débil. Utilizamos los operadores de Fortin del método DPG para el problema de Kirchhoff--Love en 2D para analizar el esquema completamente discreto. Mostramos una aplicación al problema de Stokes en 2D con cargas en $L_2$ y $H^{-1}$. En la tercera parte, estudiamos directamente el operador $\Curl^4$ en 3D como un sistema de segundo orden y proporcionamos una formulación variacional ultra-débil. En este caso, la existencia de un operador de Fortin es un problema abierto.A lo largo de la tesis, empleamos el marco teórico DPG con formulaciones ultra-débiles. La mayor parte de nuestro análisis se centra en estudiar los operadores de traza, los espacios de traza y los saltos. Estos son claves para caracterizar la regularidad, la conformidad y las condiciones de contorno. Desarrollamos operadores de Fortin los cuales son necesarios para la estabilidad de las formulaciones mixtas. Para todos los casos definimos y analizamos los operadores de traza y espacios necesarios, demostramos el buen planteamiento de las formulaciones variacionales y su discretización, y derivamos estimaciones de error a priori.También examinamos técnicas para la inclusión de condiciones de contorno no homogéneas.Proporcionamos experimentos numéricos para todos los problemas y formulaciones. Estos confirman las propiedades de convergencia esperadas.
Description
Tesis (Doctor en Matemáticas)--Pontificia Universidad Católica de Chile, 2024